МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В аналитической практике часто возникает потребность в выравнивании экспериментальных данных прямой линией. За примерами далеко ходить не надо. Это, например, фотометрия, ионометрия и т.п.
В качестве основополагающего принципа обычно используют метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем. Если мы намерены выровнять свои экспериментальные данные прямой y = ax + b с параметрами а и b, то оптимально это можно сделать, найдя минимум функции

(Квадратные скобки означают суммирование.)
Дальнейшие расчеты приводят к необходимости решения системы 2-х уравнений:

где n - число экспериментальных точек.
Из этой системы уравнения следует, что

Применяя эти формулы, следует помнить о том, что не всегда их применение может дать ожидаемый положительный эффект. В том случае, если известно, что прямая должна непременно иметь свободный параметр b, то для правильной минимизации следует использовать следующую формулу:

Если прямая должна иметь наклон a, то лучший результат дает формула

После того, как найдены оптимальные значения параметров a и b, интересно знать погрешность, с которой были проведены вычисления. Стандартные отклонения оцениваются следующим образом:

где

S² - квадрат стандартного отклонения .